Una curiosidad ciudadana
Königsberg era en el siglo XVIII una apacible y próspera ciudad de Prusia que se extendía a ambos lados del río Pregel y que contaba con dos islas en el centro de la población. Las orillas del río y las islas estaban unidas por siete puentes y, dada la disposición de los mismos entre las islas y las orillas, se hizo popular entre los paseantes la pregunta de si sería posible encontrar una ruta con comienzo y final en el mismo punto, cruzando cada puente exactamente una vez. Al no tener respuesta para la cuestión, el alcalde decidió elevar una consulta al renombrado matemático Leonhard Euler.
Reconstrucción virtual de Königsberg en el siglo XVIII. (Men@work -Media Service)
Este contestó con una ironía: “Así ve usted, muy noble señor, cómo este tipo de solución tiene poca relación con las matemáticas, y no entiendo por qué espera que la produzca un matemático, en lugar de cualquier otra persona, ya que la solución se basa únicamente en la razón, y su descubrimiento no depende de ningún principio matemático.”[1] Pero la realidad fue que Euler aceptó el reto, como declaraba en una carta dirigida a un amigo matemático: “Esta cuestión es tan banal, pero me pareció digna de atención por cuanto [ni] la geometría, ni el álgebra, ni siquiera el arte de contar bastaban para resolverla”[2].
Euler resuelve el problema de forma brillante
Leonhard Euler analizó el problema en profundidad y, en 1735, presentó un documento que contenía la solución al enigma, concluyendo que tal paseo era imposible. Para ello generalizó el problema, considerando cualquier número de masas de tierra y cualquier número de puentes. Y lo consideró de forma abstracta, representando las masas de tierra por puntos y los puentes mediante líneas que unían los puntos. Razonó que, en un único encuentro con una masa de tierra determinada, distinta de la inicial o de la terminal, hay que tener en cuenta dos puentes diferentes: uno para entrar en la masa de tierra y otro para salir de ella. Por lo tanto, cada masa de tierra debe servir como punto final de un número de puentes igual al doble del número de veces que esa masa se transita durante el 
paseo. Por lo tanto, cada masa de tierra, con la posible excepción de la inicial y la terminal si no son idénticas, debe servir como punto final de un número par de puentes. Aplicada esta regla al caso de Königsberg se ve que no se cumple.
Años más tarde, Euler descubrió la fórmula poliédrica V – E + F = 2, que relaciona el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) de un poliedro. Encontró así una propiedad de los cuerpos que es invariante ante ciertas deformaciones, independientemente de las dimensiones específicas del cuerpo. Reforzaba de esta forma la idea ya expresada en la solución del itinerario de los puentes, abriendo el acceso a una nueva rama de la matemática: la topología.
Esta abstracción de Euler tuvo una enorme influencia y, a partir de este momento, la topología experimentó un gran auge con las aportaciones de grandes matemáticos, entre los que cabe destacar al francés Henri Poincaré, que ya a finales del siglo XIX identificó las estructuras topológicas y desarrolló el lenguaje para describirlas.
El carácter anecdótico de este importante descubrimiento matemático que coloca a Königsberg y sus puentes en el punto central de la historia de las matemáticas tiene un final menos brillante. Las bombas de la Segunda Guerra Mundial destruyeron varios de sus puentes, y la ciudad perdió el hermoso nombre[3] con el que la denominaron sus fundadores, los Caballeros Teutones, en favor del apellido de un revolucionario comunista, Mijail Kalinin.
Qué es la topología
La topología es la rama de la matemática dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. La topología examina las propiedades que no cambian, incluso cuando las formas se doblan, estiran o retuercen. Por ejemplo, un donut y una taza de café comparten la misma topología porque se puede pasar de una figura a la otra mediante deformaciones que implican exclusivamente doblar, estirar o retorcer. A pesar de parecer diferentes, se consideran iguales en topología. Los conceptos fundamentales de los espacios topológicos, como continuidad, compacidad y conectividad, pueden definirse en términos precisos mediante la utilización de determinadas herramientas matemáticas, fundamentalmente la teoría de conjuntos.
El análisis topológico se adapta a la biología como anillo al dedo
La topología permite explorar los aspectos fundamentales de las formas y sus propiedades intrínsecas, ayudando a los científicos a desentrañar complejidades en diversos campos, revelando un mundo fascinante en el que formas, espacios y transformaciones continuas se entrecruzan de maneras inesperadas. Y se adapta de forma natural al estudio de la biología, porque precisamente las nociones de forma, conectividad y continuidad son intrínsecas a la misma. Existe una estrecha relación entre la forma de una macromolécula de un organismo y su comportamiento.
La topología del ADN explora cómo éste se retuerce, se enrolla y se anuda en el espacio tridimensional. No se trata sólo de la doble hélice: el superenrollamiento, los números de enlace y los retorcimientos desempeñan papeles cruciales en el funcionamiento de nuestro material genético. Pues bien, todo ello puede describirse en términos matemáticos, es decir, las matemáticas proporcionan una base importante para comprender y medir las propiedades del ADN, sustituyendo la descripción subjetiva por medidas cuantitativas.
Ya se están recogiendo frutos de los numerosísimos programas de investigación en este campo en todo el mundo. También en España, como lo muestra el trabajo desarrollado por los centros CNIO[4] y Cabimer[5] en relación con determinados movimientos y cambios en la estructura tridimensional del genoma que forman nudos y ovillos en el ADN; en él se demuestra que son una fuente de roturas cromosómicas creando linfomas. Un estudio que abre nuevas vías para comprender las causas subyacentes del linfoma.[6]
Así mismo resulta fundamental en otras muchas áreas
La utilización de la topología en campos ajenos a las matemáticas teóricas crece día a día. Además del estudio del ADN, se utiliza en muchos otros campos de la biología y la medicina, como, por ejemplo, el estudio de los latidos del corazón y su estímulo[7]; en cosmología, donde, entre otros aspectos, se debate sobre la forma del universo[8]; en el campo de la química, donde la topología permite describir y predecir la estructura molecular; en la informática, donde ayuda a optimizar la eficiencia de la red y a analizar estructuras de datos complejas; en la robótica, donde los métodos topológicos ayudan en diversos aspectos como la percepción, la cartografía, la localización o la abstracción del espacio; o en la economía, donde se aplica al análisis de los mercados financieros. En definitiva, son tan variadas las aplicaciones de los métodos topológicos en infinidad de ámbitos que resulta imposible su enumeración.
Confirma el enigma enunciado por Wigner
Vemos cómo a partir de la abstracción de un problema planteado por los ciudadanos de Königsberg, relacionado con los itinerarios de sus paseos, se llega a un desarrollo matemático que está detrás de numerosos fenómenos físicos y biológicos. Ello nos enfrenta una vez más a la pregunta que se planteó Eugene Wigner hace más de medio siglo, en uno de los artículos científicos más referenciados de la historia, La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales[9].
Instituto Ciencias de la Vida
Observatorio de Bioética
Universidad Católica de Valencia
[1] H. Sachs et al. An Historical Note: Euler‘s Konigsberg Letters Journal of Graph Theory 2006/10/05 DOI: 10.1002/jgt.3190120114
[2] Ibid.
[3] La traducción al español de Königsberg sería “Monte del Rey”.
[4] Centro Nacional de Investigaciones Oncológicas.
[5] Centro Andaluz de Biología Molecular y Medicina Regenerativa.
[6] Álvarez-Quilón, A., Terrón-Bautista, J., Delgado-Sainz, I. et al. Endogenous topoisomerase II-mediated DNA breaks drive thymic cancer predisposition linked to ATM deficiency. Nat Commun 11, 910 (2020). https://doi.org/10.1038/s41467-020-14638-w
[7] Sidney A. Morris and Peter J. Nyikos Sudden cardiac arrest and a problem in topology The ANZIAM Journal , Volume 33 , Issue 2 , October 1991 , pp. 123 – 132 DOI: https://doi.org/10.1017/S0334270000006949
[8] M. Ribes ¿Qué forma tiene el Universo? OBSERVATORIO DE BIOÉTICA UCV 6 octubre, 2023
[9] M. Ribes El misterio de las matemáticas OBSERVATORIO DE BIOÉTICA UCV 29 septiembre, 2020
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